نتایج عددی 58
نتیجه‌گیری 62
پیوست الف) 63
پراکندگی اپتیک غیرخطی از ذرات کروی و استوانه‌ای 63
پیوست (ب) 65
ذرات بیضی‌گون 65
منابع و مآخذ 66
چکیده انگلیسی67
فهرست جداول
عنوانصفحه
جدول (2-1) مقدار عناصر قطبش‌پذیر در مرتبه‌ی دوم فرکانس مجموع پراکندگی از یک کره با شعاع و پذیرفتاری 33
جدول (2-2) مقادیر نوعی پارامترهایی که چند فرایند پراکندگی را توصیف می‌کنند36
جدول (3-1) قوانین انتخاب برای عناصر در پراکندگی با سهم قطبش متفاوت 48
جدول (3-2) مقادیر ممکن برای انتگرال 53
جدول (3-3). تابع‌های پراکندگی برای ذرات بیضی گون با چند جمله‌های از و و 56
جدول (الف-1). تابع‌های پراکندگی برای ذرات استوانه‌ای با طول L و شعاع D و ذرات کروی با شعاع R 64
جدول (ب-1). تابع‌های پراکندگی برای ذرات کوچکتر در محدوده و 65

فهرست اشکال
عنوانصفحه
شکل 1-1: دو قطبی الکتریکی بنیادی الف) همسویی با میدان ب) نیروی وارد بر دو قطبی که در راستای میدان الکتریکی است. 6
شکل (1-2)پاسخ نوعی غیرخطی (الف) و خطی (ب) قطبیدگی P به میدان الکتریکی اعمال شده E برای میدان‌های مثبت و منفی برابر، پاسخ محیط اپتیکی در وضعیت غیرخطی متقارن نیست. در این مورد میدان منفی قطبیدگی بزرگتری نسبت به میدان مثبت با بزرگی یکسان بوجود می‌آورد 10
شکل(1-3) الف) هندسه تولید هماهنگ دوم ب) نمودار تراز – انرژی که تولید هماهنگ دوم را توصیف می‌کند.12
شکل1-4 تولید هماهنگ دوم در بلور KDP و در یک فیبر شیشه ای و در یک کاواکی از لیزر 13
شکل (1-5): تولید بسامد مجموع الف) هندسه برهم کنش ب) توصیف تراز – انرژی15
شکل (2-2) الف) هندسه پراکندگی با پارامترهای مرتبط ب) سطح قیاسی32
شکل (2-3) مثالی از تقریب WKB در منطقه تیره فاز موج تغییر کرده است 34
شکل (2-4) پراکندگی خودبه‌‌خودی نور الف) وضعیت آزمایش ب) طیف مشاهده شده نوعی35
شکل (2-5) طرحی برای پراکندگی ریلی هماهنگ دوم بوسیله یک کره37
شکل 3-1: الف) هندسه پراکندگی یک ذره (آنسامبلی از ذرات) تحت دو باریکه که با هم زاویه می‌سازند ب) سیم‌هایی مختصات () و مربوط به تانسور و 42
شکل (4-1) (منحنی آبی) الگوهای پراکندگی تولید بسامد مجموع (پیکربندی PPP) برای بیضی و عناصر سطح برای و و و زاویه‌ی چرخش 0 و 30 و 60 و 90 درجه59
شکل (4-2) الگوی پراکندگی برای آنسامبلی از بیضی‌گون در سیستم‌های پرولیت و آبلیت با نسبت ظاهری متفاوت. در پرولیت از آبی تا قرمز نسبت ظاهری از تا افزایش می‌یابد. در آبلیت از تا کاهش می‌یابد60
شکل (4-3) مقایسه الگوهای پراکندکی اشکال متنوع a. کره b. استوانه c. چند وجهی d. اسب که سطح‌های آنها برابر سطح یک کره به شعاع nm500 است. کره: منحنی مشکی، استوانه: منحنی خط‌چین مشکی چند وجهی: منحنی خاکستری اسب: منحنی خط‌چین خاکستری 61

مقدمه:
پدیده‌های بسیار کاربردی در محیط‌های غیرخطی اپتیکی رخ می‌دهد که از جمله‌ی این پدیده‌ها تولید هماهنگ دوم و فرکانس مجموع است که در این رساله به طور خاص به الگوی پراکندگی این دو پدیده‌ برای اشکال با شکل دلخواه اشاره شده است که برای بیان بهتر این موضوع ابتدا اپتیک غیرخطی به صورت مختصر توضیح داده شده است و از آنجایی که برای بدست آوردن الگوی پراکندگی نیازمند محاسبه شدت هستیم و برای محاسبه شدت پراکندگی نیازمند پذیرفتاری موثر هستیم. بعد از بیان اپتیک غیرخطی پذیرفتاری موثر شرح داده شده است و سپس وارد مسئله اصلی که بیان الگوی پراکندگی است شده‌ایم.

فصل اوّل:
اپتیک غیرخطی
مقدمه:
اگر تمامی پدیده‌های فیزیکی اطراف ما خطی بودند، هم فیزیک خسته کننده بود و هم زندگی بدون مشاهده بسیاری جذابیت‌ها سپری می‌شد. خوشبختانه ما در یک دنیای غیرخطی زندگی می‌کنیم. البته به خاطر داشته باشیم که همان‌طور که خطی بودن فیزیک را جذاب می‌کند غیرخطی بودن نیز فیزیک را زیباتر می‌کند]1[.
پدیده‌های اپتیک خطی در محیط خطی رخ می‌دهند و در مقابل آن پدیده‌های اپتیک غیرخطی در محیط غیرخطی رخ می‌دهند اگر ویژگی‌های اصلی این دو محیط به دنبال هم بیان شوند به درک بهتری راجع به محیط غیرخطی خواهیم رسید. به همین علت ما در اینجا پس از بیان تاریخچه توضیح مختصری راجع به این دو محیط می‌دهیم و سپس به صورت تخصصی‌تر وارد مباحث مربوط به اپتیک غیرخطی می‌شویم.
تاریخچه:
اولین بار در سال 1961 میلادی، آزمایشی که فرانکین1 و وین ریچ2 در دانشگاه میشیگان انجام دادند. نشان داد که اگر نور با طول موج به بلور کوارتز تابانده شود نوری با طول موج خارج می‌شود و این آزمایش در واقع تولد اپتیک غیرخطی به حساب می‌آید. در واقع این پدیده مشاهده تولد هماهنگ دوم3 است این آزمایش روشی در بدست آوردن تابش‌های همدوس با توان بالا است که در آن می‌توان طول موج کوتاهتر به دست آورد. چشمه‌ی نور معمولی برای چنین آزمایش‌هایی خیلی ضعیف است. در کل میدانی در حدود یک اثر غیرخطی در محیط القا می‌کند که این میدان متناظر با باریکه‌ای به شدت تقریبی است. که به همین دلیل برای مشاهده هماهنگ دوم باریکه لیزر به کار می‌رود ]1[. در کل بیشترین مطالعه روی این موضوع از قرن بیستم و بعد از آن صورت گرفته است.
1-1- ویژگی‌های محیط خطی
الف) اصل برهم نهی در این محیط صادق است: می‌دانیم نور یک موج الکترومغناطیس است برای اینکه اثرات ترکیب (برهم نهی) را به درستی متوجه شویم باید برایند بردار موج را در یک نقطه از فضا که در آن دو جابه‌جایی مستقل و با هم وجود دارند دقیقاً تعیین کنیم
(1-1) ما می‌توانیم اصل برهم نهی را به بیان دیگر نیز ذکر کنیم. به این صورت تعریف می‌شود که اگر و جوابهای مستقل معادله موج آنگاه ترکیب خطی نیز یک جواب معادله است.
در واقع از آنجایی که امواج الکترومغناطیس دارای میدان الکتریکی و میدان مغناطیسی می‌باشند برهم نهش این امواج را به صورت زیر نیز می‌توان بیان نمود
(1-2) ب) فرکانس نور زمانی که به محیط خطی وارد می‌شود، به هنگام خروج از این محیط، تغییر نمی‌کند.
مثال:
ج) در محیط خطی نوری، نور دیگر را تقویت نمی‌کند و باریکه نور در محیط خطی برهم کنش نمی‌کنند.
د) هر محیط خطی دارای یک ضریب شکست است که تغییر نمی‌کند و به شدت نور بستگی ندارد و فقط با سرعت نور سازگار است.
1-2- ویژگی‌های محیط غیرخطی
الف) اصل بر هم نهی صادق نیست
ب) فرکانس نور زمانی که به یک محیط غیرخطی وارد می‌شود، به هنگام خروج از این محیط تغییر می‌کند
مثال:

ج) دو باریکه نور در محیط غیرخطی می‌توانند با یکدیگر آمیخته شوند و یکدیگر را تقویت کنند که در این مرحله می‌گوییم اختلاط صورت گرفته است.
د) در محیط‌های غیرخطی ضریب شکست تغییر می‌کند و به شدت نور بستگی دارد.
1-3- قطبیدگی محیط خطی و محیط غیرخطی
پدیده‌های غیرخطی در نهایت از ناتوانی دو قطبی‌های محیط اپتیکی برای پاسخ خطی به میدان متناوب‌ Eی وابسته به باریکه نور ناشی می‌شوند هسته‌های اتمی و الکترونهای درونی به ترتیب سنگین‌تر و مقیدتر از آن هستند که به میدان متناوب E در بسامد نور (حدود تا ) پاسخ دهند. بنابراین الکترونهای بیرونی اتم‌های ماده عمدتاً باعث قطبش محیط اپتیکی توسط میدان Eی باریکه می‌شوند. وقتی نوسان‌های این الکترونها در پاسخ به میدان کوچک باشند قطبیدگی متناسب با میدان E است، که توضیح این تناوب را کامل بیان می‌کنیم.
اعمال میدان در محیط منجر به انتقال کوچک ابر الکترونی نسبت به هسته‌ی آن می‌شود و یک دو قطبی القایی بوجود می‌آورد. گشتاور دو قطبی P ناشی از هر اتم یا مولکول با حاصل ضرب بار جابه‌جا شده q و فاصله موثر بین بارهای مثبت و منفی تعیین می‌شود و یا جهت گشتاور دو قطبی
(1-3)

از بار منفی به بار مثبت است بزرگی گشتاور دو قطبی در یک ماده معین بستگی به این دارد که بار تحت تأثیر یک میدان الکتریکی معین تا چه اندازه آسان جابه‌جا شود. آنگاه قطبیدگی P برای

شکل 1-1: دو قطبی الکتریکی بنیادی الف) همسویی با میدان ب) نیروی وارد بر دو قطبی که در راستای میدان الکتریکی است.
این محیط بنا به تعریف عبارت است از مجموع گشتاورهای دو قطبی در واحد حجم:
(1-4) که در آن N تعداد دو قطبی‌ها در واحد حجم و e قدرمطلق بار الکترون است.
الکترونها طوری رفتار می‌کنند که انگار نیروهای مقید کننده آنها به هسته‌ها نیروی کشسانی هستند، که با قانون هوک داده می‌شوند، که در آن نیروی باز گرداننده متناسب با جابه‌جایی و در جهت خلاف آن است. هسته‌های سنگین‌تر را می‌توان ساکن گرفت، زیرا این هسته‌ها نمی‌توانند به تغییرات سریع میدان موج الکترومغناطیسی در ناحیه اپتیکی طیف پاسخ دهند. بنابراین می‌توان از الگوی ساده‌ای استفاده کرد که در آن الکترونها با نیروهای فنر گونه به هسته ثابت مقید می‌شوند. اما در میدان الکتریکی متناوب، نوسان‌های واداشته الکترونها مقدار مشخصی انرژی، شامل انرژیی که الکترونها به نوبه خود تابش می‌کنند و انرژی برهم کنش با اتم‌های مجاور که به صورت گرما ظاهر می‌شود، از تابش فرودی می‌گیرند. بنابراین الگویی که برای الکترون‌های نوسان کننده به کار می‌رود یک نوسانگر هماهنگ میرا با نیروی اصطکاکی متناسب با سرعت است. بدین ترتیب، قانون دوم نیوتن در شکل (1-1) منجر به معادله زیر می‌شود:
(1-5) که در آن K ثابت نیروی فنر موثر، m جرم الکترون و یک ثابت اصطکاک با بعد عکس زمان است. توجه کنید که نیروی روی الکترون ناشی از میدان مغناطیسی تابش را بیان نکرده‌ایم. در واقع این نیرو در مقایسه با نیروی (eE) ناشی از میدان الکتریکی قابل چشم‌پوشی است. وقتی میدان اعمال شده E ثابت است، دو قطبی‌ها نوسان نمی‌کنند و در نتیجه هم سرعت و هم شتاب الکترون صفر است. در این مورد خاص معادله (1-5) به صورت زیر در می‌آید
(1-6) و با حذف r و با استفاده از معادله (1-4) قطبیدگی ایستایی با رابطه زیر داده می‌شود.
(1-7) اکنون فرض کنیم E میدان یک موج هماهنگ است که وابستگی زمانی آن با داده می‌شود و نوسانها با وابستگی مشابهی یعنی پاسخ می‌دهند. با جاگذاری مشتق‌های و در معادله (1-5) نتیجه می‌گیریم که
(1-8) که وقتی در معادله (1-4) جایگذاری کنیم قطبیدگی وابسته به زمان زیر را بدست می‌آوریم
(1-9) توجه کنیم که معادله (1-9) در مورد میدان Eی ایستا، که با شرایط و مشخص می‌شود، با معادله (1-7) توافق دارد. در تمام موارد دیگر، قطبیدگی تابعی از بسامد تابع است و چون ضریب E مختلط است قطبیدگی می‌تواند، چنانچه خواهیم دید فاز وابسته به بسامد نسبت به E داشته باشد. میدان E در معادله (1-9) باید نمایشگر میدان واقعی در دو قطبی در داخل محیط باشد. این میدان موضعی برهم نهش میدان اعمال شده و میدان ناشی از تمام دو قطبی‌های همسوی دیگر در محیط قطبیده است. می‌دانیم
(: میدان ناشی از دو قطبی است)
(1-10) اگر علامت E را برای میدان اعمال شده به کار ببریم و معادله (1-10) را در معادله (1-9) جایگذاری کنیم، بدست می‌آوریم
(1-11) در این معادله P دوبار ظاهر شده است. اما می‌توانیم معادله را صریحاً برای P حل کنیم اگر مقدار پرانتز اول معادله (1-11) را با F نشان دهیم، نتیجه می‌گیریم که
(1-12)
(1-13) بدین ترتیب برای ضریب E داریم
(1-14) با تعریف کمیت داخل پرانتز به صورت یعنی
(1-15) که این مقدار داخل پرانتز از جنس فرکانس است.
معادله (1-13) به صورت زیر در می‌آید.
(1-16) مقدار داخل پرانتز که برابر است با قطبش وقتی میدان ثابت نیست، یک کمیت مختلط است. که یک قسمت حقیقی دارد و یک قسمت موهومی
(1-17) توجه داشته باشیم که قسمت موهومی مربوط به قسمت اتلاف است. و زمانی که از رابطه‌ی (1-16) اندازه بگیریم، در نتیجه خواهیم داشت ]2[.
(1-18) همانطور که بیان کرده‌ بودیم، بدست آوردیم که قطبیدگی متناسب با E است. اما وقتی میدان E با شدت باریکه افزایش می‌یابد، تناسب دقیق شروع به خراب شدن می‌کند، درست همانطور که نوسان‌های هماهنگ یک فنر ساده با افزایش دامنه نوسان دائماً ناهماهنگ‌تر می‌شوند. وسیله دیگری برای برانگیختن رفتار غیرخطی بدون استفاده از شدت‌های زیاد باریکه انتخاب بسامد اپتیکی برانگیزنده نزدیک به بسامد تشدید دو قطبی‌های نوسان کننده است، و این فنی است که به طور گسترده‌ای در طیف نمایی غیرخطی4 به کار برده می‌شود و آن را تقویت تشدیدی5 می‌نامند ]2[.
قطبیدگی محیط خطی ناشی از میدان الکتریکی E به صورت زیر نوشته می‌شود
(1-19) که در آن پذیرفتاری و گذردهی خلأ است. و در مقابل آن برای محیط غیرخطی رابطه میان P و به صورت زیر نمایش داده می‌شود. در واقع پاسخ نوری غیرخطی را با تعمیم رابطه (1-19) از طریق بسط قطبش برحسب توان‌های قدرت میدان به صورت زیر توصیف می‌کنیم.6
(1-20)
(1-21) اگر تابعیت زمانی و را در نظر نگیریم.
(1-22) در رابطه‌ی (1-20) و به ترتیب پذیرفتاری نوری غیرخطی مرتبه‌ی دوم و سوم نامیده می‌شود. در بخش‌های بعدی نشان خواهیم داد که یک تانسور مرتبه‌ی دوم، یک تانسور مرتبه سوم و … است. دقت کنید که در این روابط فرض کرده‌ایم که قطبش در زمان t تنها به مقدار لحظه‌ای قدرت میدان الکتریکی بستگی دارند. به طور کلی پذیرفتاری غیرخطی بستگی به بسامد میدان الکتریکی اعمال شده دارند امّا با فرض پاسخ لحظه‌ای آنها را مقادیر ثابت فرض کرده‌ایم ]4[.

(1-23)
که در آن شاخص‌های پایین با توان‌های E جور هستند و بزرگی زیاد شونده جمله‌های مرتبه‌های بالاتر را نشان می‌دهند. ضرایب پذیرفتاری خطی و غیرخطی خواص اپتیکی محیط را مشخص می‌کنند و این رابطه بین P و E پاسخ محیط اپتیکی به میدان را کاملاً مشخص می‌کند ]2[.

در این سایت فقط تکه هایی از این مطلب با شماره بندی انتهای صفحه درج می شود که ممکن است هنگام انتقال از فایل ورد به داخل سایت کلمات به هم بریزد یا شکل ها درج نشود

شما می توانید تکه های دیگری از این مطلب را با جستجو در همین سایت بخوانید

ولی برای دانلود فایل اصلی با فرمت ورد حاوی تمامی قسمت ها با منابع کامل

اینجا کلیک کنید

ب) غیرخطیالف) خطی
شکل (1-2)پاسخ نوعی غیرخطی (الف) و خطی (ب) قطبیدگی P به میدان الکتریکی اعمال شده E برای میدان‌های مثبت و منفی برابر، پاسخ محیط اپتیکی در وضعیت غیرخطی متقارن نیست. در این مورد میدان منفی قطبیدگی بزرگتری نسبت به میدان مثبت با بزرگی یکسان بوجود می‌آورد ]2[ و ]3[.

در انتهای مبحث محیط‌های خطی و غیرخطی سوالی که در ذهن ما پیش می‌آید این است که: آیا همه محیط‌ها اساساً غیرخطی هستند؟ پاسخ این سوال مثبت است. حتی در مورد خلأ فوتون‌ها می‌توانند تحت قطبش خطی بر هم‌کنش داشته باشند به عنوان مثال برای پراکندگی فوتون – فوتون و دیگر اثرات غیرخطی در خلأ برای بررسی محیط به عنوان غیرخطی به مشکلات زیادی برمی‌خوریم و در عمل برای راحت‌تر شدن محیط مربوطه را خطی در نظر می‌گیریم و بررسی می‌کنیم ]1[.
1-4- برآورد ساده‌ای از اندازه کمیت پذیرفتاری
در بخش‌های بعدی چگونگی محاسبه مقادیر پذیرفتاری غیرخطی در سازوکار فیزیکی مورد نظر که منجر به رفتارهای غیرخطی می‌شوند را خواهیم داشت. فعلاً برآورد ساده‌ای از اندازه این کمیت‌ها برای حالت عمومی که رفتارهای غیرخطی ماهیت الکترونی دارند را ارایه می‌دهیم.
برای مثال، آرمسترانگ7 و همکارانش (1962) هنگامی که دامنه میدان اعمال شده E از مرتبه قدرت میدان الکتریکی اتمی ویژه که در آن -e بار الکترون و شعاع بور اتم هیدروژن ( ثابت پلانک تقسیم بر و m جرم الکترون است) است، این انتظار هست که پایین‌ترین مرتبه تصحیح یعنی باید قابل مقایسه با پاسخ خطی باشد. به طور عددی مقدار است. لذا انتظار داریم تحت شرایط برانگیزش غیرتشدیدی، پذیرفتاری مرتبه دوم از مرتبه باشد. برای مواد چگال، از مرتبه یک است. و لذا انتظار داریم که از مرتبه باشد و یا آنکه
(1-24) به طریق مشابه انتظار داریم که از مرتبه باشد که برای مواد چگال از مرتبه زیر است.
(1-25) این مقادیر به مقادیر اندازه‌گیری شده در تجربه نزدیک هستند. در حقیقت این پیش‌بینی‌ها کاملاً درست‌اند.
1-5- تولید هماهنگ دوم
فرایند تولید همانگ دوم که به طور طرح‌وار در شکل (1-3) نشان داده شده است را معرفی می‌کنیم. در این شکل، یک باریکه نور لیزر که قدرت میدان الکتریکی آن به صورت
(1-26) نمایش داده می‌شود به بلوری که پذیرفتاری مرتبه دوم غیرصفر دارد می‌تابد. قطبش غیرخطی که در چنین بلوری ایجاد می‌شود بر طبق معادله (1-20) به صورت و یا به صورت
(1-27)

شکل(1-3) الف) هندسه تولید هماهنگ دوم ب) نمودار تراز – انرژی که تولید هماهنگ دوم را توصیف می‌کند.

نوشته می‌شود. مشاهده می‌کنیم که قطبش مرتبه دوم شامل یک قسمت در بسامد صفر (جمله اول) و یک قسمت در بسامد (جمله دوم) است. بر طبق معادله موج در یک محیط نوری غیرخطی که به صورت زیر است
(1-28) قسمت دوم منجر به تولید تابش با بسامد هماهنگ دوم می‌شود. در حالی که قسمت اول معادله (1-27) منجر به تولید تابش الکترومغناطیس نمی‌شود (زیرا مشتق زمانی مرتبه دوم آن صفر است). این قسمت منجر به فرآیندی به نام یکسوسازی نوری8 می‌شود که در آن میدان الکتریکی ایستایی در داخل بلور غیرخطی تولید می‌شود.
تحت شرایط تجربی مناسب بازده فرایند تولید هماهنگ دوم می‌تواند به نحوی باشد که تقریباً تمام توان تابش فرودی در بسامد به تابش هماهنگ دوم با بسامد تبدیل شود. یکی از کاربردهای عام تولید هماهنگ دوم تبدیل خروجی یک لیزر فرکانس ثابت به محدوده طیفی دیگری است. برای مثال لیزر Nd:YAG در مادون قرمز نزدیک و در طول موج کار می‌کند. تولید هماهنگ دوم به طور عادی مورد استفاده قرار می‌گیرد تا طول موج تابش به در میانه طیف مرئی، تبدیل شود.
می‌توان تولید هماهنگ دوم را با در نظر گرفتن بر هم کنش برحسب معاوضه فوتون‌‌ها بین اجزا میدان با فرکانس‌های متفاوت تجسم کرد. براساس این تصویر که در قسمت (ب) شکل
(1-3) نمایش داده شده است، در یک فرایند مکانیک کوانتومی و به طور همزمان دو فوتون با بسامد نابود می‌شوند این ترازها، ویژه ترازهای انرژی اتم آزاد نیستند. بلکه بیشتر ترکیب انرژی یکی از ویژه حالت‌های انرژی اتم با یک یا چند فوتون میدان تابشی را نشان می‌دهند]4[.
هماهنگ دوم اپتیکی را به روش‌های مختلف که در شکل (1-4) به سه مورد آن اشاره شده است.

شکل1-4 تولید هماهنگ دوم در بلور KDP و در یک فیبر شیشه ای و در یک کاواکی از لیزر]3[.
1-6- تولید بسامد مجموع و بسامد تفاضل
حال وضعیتی را بررسی می‌کنیم که میدان نوری که به یک محیط نوری غیرخطی با پذیرفتاری می‌تابد شامل دو مولفه بسامدی مجزا است.
(1-29) طبق فرضی که در معادله (1-20) شد، سهم مرتبه دوم قطبش غیرخطی به صورت زیر است.
(1-30) در نتیجه خواهیم داشت
(1-31)
که معادل رابطه‌ی زیر است.
(1-32) که جمع بر روی تمام بسامدهای مثبت و منفی انجام می‌شود. بنابراین دامنه موهومی بسامدهای مختلف قطبش به صورت زیر است.
(1-33)
(SHG) تولید هماهنگ دوم
(SHG) تولید هماهنگ دوم

(SFG) تولید بسامد مجموع 9
(DFG) تولید بسامد تفاضل 10
(OR) یکسوسازی نوری 11
بر طبق نمادگذاری موهومی‌مان، که پاسخ‌ای نیز در منفی هر یک از بسامدهای غیرصفری که در بالا آمد، وجود دارد.
(1-34)
چون هر یک از این کمیت‌ها مزدوج موهومی کمیت‌های معادله (1-33) هستند. لازم نیست هر دو مولفه‌های بسامدی مثبت و منفی به طور صریح و روشن در نظر گرفته شوند.
بر طبق معادله زیر، دامنه موهومی قطبش غیرخطی که فرایند تولید بسامد مجموع را توصیف می‌کند.
(1-35) از بسیاری جهات، فرایند تولید بسامد مجموع مشابه با تولید هماهنگ دوم است. به جز آنکه در تولید بسامد مجموع، دو موج ورودی بسامدهای متفاوتی دارند ]4[.

شکل (1-5): تولید بسامد مجموع الف) هندسه برهم کنش ب) توصیف تراز – انرژی
1-7- معادلات ماکسول در محیط‌های غیرخطی
همه پدیده‌های الکترومغناطیسی به وسیله معادلات ماکسول قابل توصیف هستند. میدان الکتریکی و میدان مغناطیسی

(1-36)
که در آن و چگالی بار و جریان می‌باشند، که با رابطه زیر با هم در ارتباط هستند.
(1-37) می‌توانیم به صورت زیر تحت سری‌ای از چند قطبی‌ها بسط دهیم.
(1-38)
(1-39) که در آن P و M و Q به ترتیب قطبش الکتریکی، قطبش مغناطیسی، قطبش چهار قطبی الکتریکی و ….
داریم
(1-40) که در آن چگالی جریان dc است و از دو قطبی‌های مغناطیسی و چند قطبی‌های دیگر صرفه نظر شده است.
(1-41)
(1-42)
(1-43)
(1-44) در کل P تابعی از E است و اغلب با یک معادله ساختاری مشخص می‌شود.
اگر تنها با کمک معادلات ساختاری می‌توانستیم دستگاه معادلات ماکسول را با در نظر گرفتن شرایط مرزی حل کنیم همه پدیده‌های اپتیکی قابل پیش‌بینی بودند. امّا متأسفانه این امر به ندرت امکان‌پذیر است. به وسیله تقریب‌های فیزیکی و به کمک راه‌حل‌های ریاضی معادلات را حل می‌کنیم. P یک تابع غیرخطی پیچیده از E است. در حالت خطی
(1-45) پذیرفتاری خطی است. اگر E یک موج تکفام به صورت زیر باشد.
(1-46) سپس با تبدیل فوریه
(1-47) و
(1-48) رابطه‌ی ثابت دی‌الکتریک خطی با به صورت زیر است.
(1-49) در تعریف دو قطبی الکتریکی مستقل از r است. و و هر دو مستقل از K هستند.
در حالت غیرخطی زمانی که E به اندازه کافی ضعیف باشد قطبش P که تابعی از E است را حول مقادیر E بسط می‌دهیم.
(1-50)
پذیرفتاری غیرخطی مرتبه‌ی n است. اگر E را بتوان گروهی از امواج تکفام در نظر گرفت
(1-51) در حالت خطی، با تبدیل فوریه رابطه‌ی (1-50) به صورت زیر می‌شود.
(1-52) با
(1-53)
(1-54)
(1-55) و
(1-56)
در تقریب دو قطبی الکتریکی ، مستقل از r حالت و مستقل از k است. ویژگی‌های پذیرفتاری غیرخطی و خطی با توجه به خاصیت‌های محیط مربوطه مشخص می‌شوند]1[.

فصل دوّم:
مفهوم پذیرفتاری موثر در اپتیک غیرخطی

مقدمه
همانطور که در فصل اول دیدیم قطبش P، تابعی از میدان است که عاملی که در تابعیت میدان ضرب می‌شود، پذیرفتاری است. پس ما باید ابتدا مفهوم پذیرفتاری را بیان کنیم و سپس پذیرفتاری موثر را برای حالت خاصی که مورد بررسی ما است بیان کنیم که بتوانیم به کمک پذیرفتاری دقیقی که بدست می‌آوریم میدان مربوطه را محاسبه و به وسیله میدان، شدت پراکندگی را برای حالت‌های مورد نظر محاسبه کنیم.
2-1- پذیرفتاری غیرخطی
برهم‌کنش‌های نوری غیرخطی را فقط برای سیستم‌های مادی بدون اتلاف و بدون پاشیدگی می‌توان برحسب قطبش غیرخطی معادله ( 1-22) توصیف نمود. در اینجا حالت عمومی‌تری که در آن ماده پاشنده دارای اتلاف است را بررسی می‌کنیم. در حالت کلی پذیرفتاری غیرخطی کمیتی موهومی است که دامنه‌های موهومی میدان الکتریکی و قطبش را به هم ربط می‌دهد.
فرض می‌کنیم که بتوان بردار میدان الکتریکی موج نوری را به صورت مجموع گسسته‌ای از تعدادی مولفه‌های بسامد نوشت.
(2-1) علامت پریم روی جمع معادله (2-1) مشخص کننده آن است که جمع باید تنها روی بسامدهای مثبت انجام شود. اغلب راحت‌تر است که به صورت مجموعی از قسمت‌های بسامد مثبت و بسامد منفی آن بنویسیم.
(2-2) که
(2-3)
و
(2-4) با این شرط که مزدوج باشد، مطمئن می‌شویم که معادله حقیقی خواهد بود زیرا این کمیت نشان دهنده یک میدان فیزیکی است. هم‌چنین بهتر است که دامنه فضایی کند تغییر را با رابطه زیر تعریف کنیم.
(2-5) بنابراین می‌توان میدان الکتریکی کل معادله (2-1) را برحسب این دامنه‌های میدان با یکی از دو عبارت زیر نشان داد
(2-6) گاهی اوقات، این دامنه‌های میدان را با استفاده از نمادگذاری دیگری نیز نشان می‌دهند.
(2-7) شرط حقیقی بودن معادله (2-4) برحسب این نگارش به صورت زیر است.
(2-8) یا با استفاده از این نگارش جدید می‌توانیم میدان کل را به شکل فشرده‌تر زیر بنویسیم.
(2-9) که جمع بدون پریم بیانگر جمع بر روی تمام بسامدهای مثبت و منفی است.
توجه کنیم که طبق تعریف از دامنه میدان، میدان
(2-10) برحسب دامنه‌های موهومی میدان به صورت
و
و برحسب دامنه‌های کند تغییر به صورت

و
نمایش می‌یابد در هر یک از دو نمایش ضرایب به این دلیل ظاهر می‌شوند که دامنه میدان فیزیکی به طور مساوی بین مولفه‌های مثبت و منفی تقسیم شده است.
با استفاده از نگارش جدید می‌توان قطبش غیرخطی را به صورت زیر نوشت.
(2-11) که همانند قبل جمع روی تمام مولفه‌های بسامد مثبت و منفی انجام می‌شود.
مولفه‌های پذیرفتاری مرتبه‌ی دوم را به صورت ثابت‌های تناسبی که دامنه قطبش غیرخطی را طبق رابطه زیر به حاصل‌ضرب دامنه‌های میدان ربط می‌دهند، تعریف می‌کنیم.
(2-12) اندیس‌های اشاره به مولفه‌های دکارتی میدان دارند. علامت مشخص می‌کند که در اعمال جمع بر روی n و m با وجود آنکه و هر کدام می‌توانند تغییر کنند، اما مجموع باید ثابت بماند. چون دامنه همراه با بستگی زمانی و دامنه همراه با بستگی زمانی است. حاصل‌ضرب همراه با بستگی زمانی خواهد بود. در واقع همان‌طور که نمادگذاری معادله ایجاب می‌کند، حاصل ضرب منجر به سهمی در قطبش غیرخطی می‌شود. که با بسامد نوسان می‌کند. به پیروی از این نمادگذاری، را به صورت تابعی از سه شناسه بسامدی نوشته‌ایم. در عمل نیازی نیست که شناسه اول را همیشه مجموع دوتای دیگر در نظر بگیریم. برای تأکید بر این واقعیت، پذیرفتاری گاهی اوقات به صورت که اولین شناسه با دو تای دیگر متفاوت است نوشته می‌شود. یا می‌توان آن را به صورت نمادین نوشت.
2-2- پذیرفتاری غیرخطی در تولید بسامد مجموع
بسامدهای میدان ورودی را و و بسامد مجموع را می‌گیریم به طوری که پس با اعمال جمع بر روی و در معادله (2-12) بدست می‌آوریم که
(2-13) این رابطه را می‌توان با استفاده از تقارن جایگشت ذاتی پذیرفتاری غیرخطی ساده کرد.
(2-14) با استفاده از این رابطه عبارت قطبش غیرخطی به صورت زیر می‌شود.
(2-15) و برای حالت خاصی که هر دو میدان ورودی در راستای x قطبیده باشند. قطبش می‌شوند
(2-16)2-3- پذیرفتاری غیرخطی در تولید هماهنگ دوم
بسامد ورودی را و بسامد تولید شده را انتخاب می‌کنیم اگر جمع را روی بسامدهای میدان در رابطه (2-12) اعمال کنیم بدست می‌آوریم که
(2-17) در حالت خاصی که قطبش میدان‌های ورودی در راستای x باشد نتیجه می‌شود
(2-18) توجه کنید که یک ضریب 2 در معادلات (2-15)و(2-16) که تولید بسامد مجموع را نشان می‌دهد، ظاهر می‌شود؛ اما در معادلات (2-17)و (2-18) که تولید هماهنگ دوم را توصیف می‌کنند، وجود ندارد. این حقیقت که عبارت‌ها حتی وقتی که به نزدیک می‌شود متفاوت خواهند بود، در نگاه اول عجیب به نظر می‌رسد؛ اما نتیجه‌ای از نمادگذاری ما است. که باید هنگامی که به نزدیک می‌‌شود، به تبدیل شود. توجه کنید که معادلات و برای موردی با پذیرفتاری غیرخطی ناپاشنده معادله(1-33) در یک ضریب 2 با هم اختلاف دارند. در هر صورت باید انتظار داشت که قطبش غیرخطی تولید شده توسط دو میدان متفاوت باید بزرگتر از مقدار تولید شده توسط یک میدان تنها (دو مولفه با دامنه مساوی فرض می‌شود) باشد، زیرا شدت نور کل در حالت اول بزرگتر است.
در حالت کلی جمع روی بسامدهای میدان و رابطه (2-12) را می‌توان به طور صوری اعمال کرد تا نتیجه زیر حاصل شود.
(2-19) که ضریب تبهگنی نامیده می‌شود و برابر با تعداد جایگشت‌های متمایز بسامدهای و میدان اعمال شده است.
رابطه‌ی(2-12) که معرف پذیرفتاری مرتبه‌ی دوم است را می‌توان به آسانی به برهم کنش‌های مرتبه‌ی بالاتر تعمیم داد. در عمل مولفه‌های پذیرفتاری مرتبه‌ی سوم به صورت ضرایبی تعریف می‌شوند که دامنه‌ها را طبق رابطه زیر به هم ربط می‌‌دهند.
(2-20)
مجدداً می‌توانیم جمع داده‌ی m و n و o انجام دهیم تا نتیجه زیر را بدست آوریم]4[.
(2-21)
2-4- پذیرفتاری موثر در پراکندگی اپتیک غیرخطی
پاسخ غیرخطی مواد به موج‌های الکترومغناطیسی فرودی معمولاً با قطبش غیرخطی قابل توصیف است. این قطبش با میدان‌های فرودی بوسیله پذیرفتاری غیرخطی در ارتباط است. میدان‌های ورودی به صورت زیر در نظر گرفته می‌شوند.

(2-22) دامنه‌ی میدان نرده‌ای موج و بردار قطبش واحد ( بر حالت قطبش دلالت دارد) در زمان برهم‌کنش میدان‌ها با محیط دو اثر وجود دارد که افزایش قطبش غیرخطی را تعدیل می‌کند.
اول: تصحیح میدان‌های میکروسکوپیک با توجه بر برهم‌کنش دو قطبی دو‌قطبی صورت می‌گیرد و دوم: تغییر در میانگین میدان‌های میکروسکوپیک با توجه به خواص اپتیکی محیط اولی را می‌توان بوسیله تصحیح لورنس12 به حساب آورد که در اینجا ما آن را نادیده می‌گیریم و اما دومی را می‌توان بوسیله ضریب نوعی فرنل13 به حساب آورد، که تصحیح میدان را بوسیله ذرات توصیف می‌کند (توجه داشته باشید که برای میدان‌های دور بنابراین خواهیم داشت]5[.

دسته بندی : پایان نامه ها

پاسخ دهید